摘要 

针对板带轧机轴承工作环境恶劣、保持架与滚动体极易损坏、信号噪声大、识别困难以及实际工况对诊断速 度要求高等问题，首先，提出粒子群优化变分模态分解（particle swarm optimization‑variational mode decomposition， 简称 PSO‑VMD）和多元多尺度排列熵（multivariate multiscale permutation entropy，简称 MMPE）的故障诊断方法， 并结合粒子群优化支持向量机（particle swarm optimization‑support vector machine，简称 PSO‑SVM）实现故障分类；其次，轴承振动信号经 VMD 处理为若干模态分量（intrinsic mode functions，简称 IMF），选***优分量进行包络分析；然后，针对轧机轴承垂直水平轴向振动差别较大且受较大径向力与轴向力的特点，采用 MMPE 并考虑 3 维振动信 号的 4 个分量的 MMPE 值与时域指标组成特征向量；***后，基于 PSO‑SVM 模型对方法的有效性进行验证。计算和 实验结果与集合经验模态分解（ensemble empirical mode decomposition，简称 EEMD）与局部均值分解（local mean decomposition，简称 LMD）方法对比表明，VMD‑MMPE 可以优化模型的输入，提高模型的诊断正确率和速度，实现 轴承保持架与滚动体不同部位和不同损伤程度的故障诊断，具有重要的工程意义。

关键词：轧机轴承；变分模态分解；包络谱；多元多尺度排列熵；粒子群优化支持向量机；故障诊断

引言

从轴承振动信号中提取故障信息在故障诊断中 起到了非常有效的作用［1］ 。故障诊断包括信号采 集、特征提取与诊断识别等环节［2］ 。故障诊断的关 键在于如何从非线性、非平稳的振动信号中提取故 障特征信息［3］ 。Huang 等［4］ 提出 EMD 算法，信号被 分解成多个模态分量，具有自适应能力。Wu 等［5］ 为克服端点效应和模态混叠，在分解过程中加入白 噪声，形成了 EEMD 算法。张琛等［6］ 利用 EEMD 算 法结合奇异值熵值实现含有噪声的滚动轴承振动信 号特征提取，利用奇异值熵大小对轴承故障进行判 断。田晶等［7］ 利用 EEMD 与空域降噪结合，二者对 轴承故障信号噪声的抑制效果优于小波分析，故障 特征更加凸显。上述研究表明，采用 EEMD 算法较 短时傅里叶变换、小波分析和 EMD 算法在轴承故 障诊断中可以取得更好的效果。

随着自适应算法的不断发展，LMD 被提出用于 抑制端点效应和模态混叠现象。Liu 等［8］ 对齿轮箱 故障信号进行 LMD 分解，选取较优分量进行傅里 叶变换，从中提取出点蚀故障特征频率。程军圣 等［9］ 分别采用 LMD 与 EMD 算法对齿轮箱故障信号 进行分析，结果表明 LMD 算法在故障诊断中性能 优于 EMD 算法。变分模态分解解决了端点效应和 模 态 混 叠 的 缺 点 。Yang 等［10］分 别 采 用 EMD 和 VMD 算法对涡轮机振动信号进行特征提取，分析 得出 VMD 算法对信号的处理效果优于 EMD 算法。Jiang 等［11］ 用 VMD 算法解决早期故障诊断困难的问 题，提取效果明显增强，性能优于 EMD 算法，验证 了 VMD 在噪声鲁棒性上的优势。Mohanty 等［12‑13］ 分别采用 VMD 和 EMD 算法处理滚动轴承振动信 号，证明 VMD 可有效克服时频分析算法中模态混叠的问题。

熵值算法能够衡量机械动力学非线性时间序列 的复杂性且效果优异，在故障诊断领域被广泛应用， 如 近 似 熵（approximate entropy，简 称 AE）、样 本 熵 （sample entropy，简 称 SE）和 排 列 熵（permutation entropy，简称 PE）等［14］ ，其中排列熵理论简单，抗噪 能力强，只对相邻样本点进行对比分析，即可获取相 应的特征信息，能够捕获序列的微弱变化。以上算法仅考虑了单一尺度时间序列的复杂性和动力学突 变，忽略了其他尺度的有用信息，因此学者们将熵值 进行多尺度粗粒化处理，提出了多尺度熵值算法。文献［15］将多尺度样本熵（multiscale sample entro‑ py，简称 MSE）应用到旋转机械特征提取中。样本 熵处理短信号时间不够稳定，实际运用速度较慢，而 排列熵理论简单，可以忽略幅值因素，计算速度较 快，引入多尺度之后可以延续其优势。潘震等［16］ 将 多尺度排列熵（multiscale permutation entropy，简称 MPE）引入单向阀故障诊断中，对 VMD 分量信号进 行 MPE 特征提取，实现了单向阀故障诊断。张建财 等［17］ 将 VMD 与 MPE 相结合，提取分量的 MPE 值 输入到 PSO‑PNN 模型中，实现了对滚动轴承的故 障诊断。笔者将多元信号处理的思想引入到 MPE 计算中，综合考虑轧机轴承垂直和轴向振动信号，计 算其 MPE 值作为特征向量，提出了 MMPE，并将其应用到轧机滚动轴承故障诊断中。

深层网络需要大量的数据进行训练，输入向量维数高，训练耗时长。王玉静等［18］ 将频谱信号输入 深度置信网络（deep belief network，简称 DBN），训 练时间长达 6 114 s。在小样本的条件下，训练数据 不足，深层网络训练效果较差，且速度缓慢。SVM 在小样本数据情况下，对拟合的准确度和样本数据 学习的复杂性做了一个折中处理，达到***好的泛化 能力，避免了神经网络陷入局部极值的缺陷问题。Yang 等［19］ 对滚动轴承故障数据进行多域特征的提 取，并构成特征向量，通过 SVM 实现了故障诊断。Diego 等［20］ 采用 SVM 诊断模型对滚动轴承故障数 据进行检测，将滚动轴承故障与正常状态进行二分 类区分，实现轴承故障的识别。袁宪锋等［21］ 采用灰 狼算法对 SVM 进行优化，并结合自编码器实现了 对滚动轴承的故障诊断。

粒子群优化算法（particle swarm optimization， 简称 PSO）［22］是受到鸟群或鱼群觅食行为启发的 群体智能优化方法，具有很好的全局寻优能力，可用 于对 SVM 和 VMD 的超参数优化。笔者针对轧机轴承振动信号干扰噪声大、滚动 体与保持架易损坏、各方向振动信号差别较大、工厂 生产实际故障数据不足、训练数据样本小以及诊断 速度慢等问题，采用 VMD 分解结合包络谱，初步判 断轴承存在故障，并通过 VMD‑MMPE 进行故障特 征的提取与表征，提高了诊断正确率和速度。由于 故障数据缺乏，数据样本小，难以实现轧机轴承故障 部位及损伤程度的准确识别，因此采用 PSO‑SVM 方法，实现了轧机轴承相同部位不同损伤的故障诊断。

1 数学模型

1.1 PSO‑VMD 算法

1.1.1 VMD 算法 

VMD 是一种可以改变尺度的时频信号处理方 法，可自行选定分解模态分量个数，克服了以往自适 应分解算法（EMD，EEMD 和 LMD）的模态混叠和 端点效应的缺点，且 VMD 的本质是由维纳滤波进 行降噪，具有较好的降噪效果。

将信号分解为若干子模态 uk，各模态带宽在频 率中心紧凑分布，且通过梯度的 L2 范数估计带宽。VMD 算法过程为

min { uk }，{ ωk } { ∑k        ∂  t [( δ ( t )+ j πt ) uk ( t ) ] e -jωk t 2 2 } s.t.∑k = 1 K uk = f （1）

其中：uk为各模态；ωk为各模态中心频率；K 为分解 层数；δ ( t )为脉冲函数。

引入拉格朗日乘法算子 λ 与二次惩罚因子 α，解决约束变分问题 

L( { uk }，{ ωk }，λ )= α∑k        ∂  t [( δ ( t )+ j πt ) uk ( t ) ] e -jωk t 2 2 +        f ( t )-∑  k uk ( t ) 2 2 + λ( t )，f ( t )-∑k uk ( t ) （2） 

首先，确定分解模态个数，初始化子模态 u 1 k，子 模态 û 1 k 对应的中心频率为 ω̂1 k，乘法算子为 λ1 ，初始 循环参数为 n。原信号分解为 K 个 IMF 分量的过程 如下。

1）初始化 u 1 kω1 k λ1 ，n=0。

2）n=n+1，执行整个循环。k 的取值范围为 1~K，根据式（3）更新 uk û n + 1 k ( ω )= f ̂ ( ω )-∑i ≠ k ûk ( ω )+ λ ̂ ( ω ) 2 1 + α ( ω - ωk ) 2 （3）

其中：û n + 1 k ( ω )，f ̂ ( ω )，λ ̂ ( ω )及 ûk ( ω )分别为 u n + 1 k ( t )， f ( t )，λ( t )及 uk ( t )的傅里叶变换形式。根据式（4）更新 ωk ωkωn + 1 k =∫ 0 ∞ ω| ûk ( ω )| 2 dω ∫ 0 ∞ | ûk ( ω )| 2 dω （4） 对所有的 ω > 0，根据式（5）更新 λ λ ̂ n + 1 ( ω )= λ ̂ n ( ω )+ τ ( f ̂ ( ω )-∑k û n + 1 k ( ω ) ) （5） 

3）重复步骤 2，直至满足迭代精度 ε ∑k  û  n + 1 k - û n k 2 2 / û  n k < ε （6）

4）循环停止，输出 K 个 IMF 分量。

1.1.2 PSO 算法 

在解空间中随机初始化 m 个粒子构成初始种 群，记第 i 个粒子当前位置为 xi。粒子初始化速度为 vi ，速度决定粒子的运动。由目标函数确定一个适 应值，在迭代中粒子将跟踪自身和当前种群找到*** 优解。设每个粒子当前找到的极值为 Pi，种群当前 找到的全局极值为 Pg，逐代搜索，直到***后得到*** 优解。粒子的速度和位置更新公式为

vi + 1 = wvi + c 1 r1 ( Pi - xi )+ c2 r2 ( Pg - xi )（7） xi + 1 = xi + vi + 1 （8）

其中：c1 为局部学习因子；c2 为全局学习因子；w 为 惯性因子；r1 ，r2 为［0，1］之间均匀分布的随机数。 

将所有分量 PE 均值和作为适应度函数对 K 与 α 进行寻优。PE 能够很好地反映时间序列的复杂 程度，PE 值越小则信号序列越规律，富含越多的振 动冲击特征；PE 值越大则信号的噪声和无效特征越 多。笔者选取前 4 个分量作为***优分量。在 PSO 优 化过程中参数设置如下：粒子数量为 20；迭代次数 为 50；局部学习因子与全局学习因子均为 1.8；惯性 因子为 0.8。 

1.2 基于多元多尺度排列熵的特征提取 

1.2.1 多尺度排列熵

PE 可对 1 维序列进行定量描述，抗噪能力好。空间重构 1 组时间序列，得到 Xi [ xi ，xi + τ，⋯，xi +( m - 1 ) τ ] （9） 

其中：m 为嵌入维数；τ 为延迟时间。 

对于每一个 Xi，都会有 m！种排列方式，计任意 一种排列方式的出现次数为 Tr，其对应出现的概 率为 Pr = Tr N -( m - 1 ) τ (r = 1，2，⋯，R ) （10）

不同排列序列的排列熵 HPE可通过信息熵定义 HPE = -∑r = 1 R Pr ln Pr （11） 

归一化后得到 PE = HPE ln ( m！) （12） 

通过式（10）~（12）可知，嵌入维数 m 与延时时 间 τ 会引起排列熵计算结果的变化，根据经验可知， 嵌入维数取 3~7 可取得较好得效果，τ 通常取 1。

多尺度排列熵本质是粗粒化时间序列，得到新 的时间序列。其过程为：将时间序列 X 按照长度 s 个元素的形式进行划分；按照式（13）求划分后每个 时间序列的平均值。y s j = 1 s ∑i =( j - 1 ) s + 1 js xi ( ) 1 ≤ j ≤ N s （13）

其中：s为尺度因子；N 为原始信号长度。 

对新时间序列求解排列熵，即可得到多尺度排 列熵。 

1.2.2 多元多尺度排列熵 

MPE 在处理 1 维振动信号时可以取得较好的效果。针对轧机工况的特殊性，轧制过程中轴承受 较大径向力与轴向力，且垂直水平轴向振动信号之 间存在较大差别，需要综合考虑 3 维振动信号，MPE 依次处理 3 个方向的信号并不能取得***优的特征提 取效果。因此，针对多维信号特征提取采用多元多 尺度排列熵算法可以取得更好的效果。

对于 n 维时间序列 Xk，i ，多元多尺度粗粒化序 列为

y s k，j = 1 s ∑i =( j - 1 ) s + 1 js xk，i （k = 1，2，⋯，n）（14） 

得到时间序列为 Ym ( i )=[ y 1，i ，y 1，i+τ1 ，⋯，y 1，i+( m1-1 ) τ1 ，y 2，i ，y 2，i+τ2 ， y 2，i+( m2-1 ) τ2 ，⋯，yd，i ，yd，i+τd ，⋯，yd，i+( md-1 ) τd （] 15）

其 中 ：M =[ m1，m2，⋯，md ] 为 嵌 入 维 度 向 量 ；Γ = [ τ1，τ 2，⋯，τd ]为延迟时间向量。 

对于 d 维时间序列 Ym （i），求每维数据的相对概 率并结合式（10）和式（11），即可得到***终的多元多 尺度排列熵为 H MMPE = -∑ j = 1 J Pj ln Pj （16） 其中：J 为多元信号序列共有的排列方式数，J=k× m！，k 为输入信号维数。

归一化形式为 MMPE = H MMPE ( x，t，m，τ ) ∑t = 1 s H MMPE ( x，t，m，τ ) （17） 

1.3 PSO‑SVM 算法 

笔者使用的支持向量机为 LibSVM 工具包的一 部分，在使用时需要确定合适的惩罚因子 C 以及核 函数参数 g。采用 PSO 算法对 C 与 g 进行寻优，将 SVM 识别准确率作为其适应度函数。PSO 参数设 置如下：粒子数量为 20；迭代次数为 50；局部学习因 子与全局学习因子均为 1.8；惯性因子为 0.8。 

1.4　基于 VMD‑MMPE 与 PSO‑SVM 的故障诊断 模型　

PSO‑VMD 算法结合包络分析可有效解决轴承 振动信号噪声大与故障频率提取困难的问题。通过 包络谱可实现故障轴承初步诊断，但诊断依靠经验；而通过 MMPE 算法可实现对轴承故障信号的特征 提取和表征。因此，笔者将 PSO‑VMD 与 MMPE 相结合，通过 VMD 与包络谱实现初步诊断，再通过计 算 3 个方向信号各分量的 MMPE 值，实现对轴承故 障特征的表征，并构成特征向量输入 PSO‑SVM 模 型 进 行 训 练 ，实 现 对 故 障 的 诊 断 分 类 。VMD‑MMPE 值优化了 SVM 的输入，提高了计算 速度和正确率，结合包络谱解决初期训练样本不足、 诊断正确率低的问题，***终建立一种 PSO‑VMD 包 络谱、MMPE 与 PSO 优化 SVM 相结合的故障诊断 模型，***终实现滚动轴承不同故障以及同故障不同 损失程度的故障诊断。故障诊断流程如图 1 所示。

本次实验的设备主要有实验轧机、传感器和数 据采集设备，板带轧机轴承故障诊断实验台如图 2 所示。轧机参数如下：轧辊直径为 120 mm；长度为 90 mm；主电机转速为 18 r/min；***大轧制力为 12 t。振动传感器为 YS8202 加速度传感器，压力传感器 型号为 HZC‑01。

实验轧机工作辊轴承为单列圆柱滚子轴承并列 安装，型号为 NU1012。对 8 套正常轴承、2套滚动 体磨损轴承、2 套保持架破损轴承以及 2 套滚动体剥落轴承进行数据采集，4 种实验轴承如图 3 所示。

轧制实验过程中，设轧辊转速为 5.04 r/min，对 上述 4 组轴承采集 x，y 和 z 轴方向的振动信号、轧机 传动侧与操作侧的轧制力信号和上下传动轴的扭矩 信号，采样频率均为 2 kHz。信号时域图如图 4 所 示，前 4 s 轧机为空载状态，振幅较小，51 s 后由于抛 钢现象，振幅骤升，因此分析时需舍弃两端信号。